Lagrangian Conditions under Inequality Constraints

与前文讨论的只含等式约束的优化问题求解类似，含不等式约束的优化问题同样可以用拉格朗日乘子法进行求解 对于一般形式的优化问题：

$$minimize\quad f(x)\\ subject\ to\quad h(x)=0\\ \quad\quad g(x)\le 0$$

其中，$f:R^{n}\to R,h:R^{n}\to R^{m},m\le n,g:R^{n}\to R^{p}$ 引入下面两个定义：

定义 1：对于一个不等式约束$g_{j}(x)\le 0$，如果在$x^{*}$处$g_{j}(x^{*})=0$，那么称该不等式约束是$x^{*}$处的起作用约束；如果在$x^{*}$处$g_{j}(x^{*})<0$，那么称该约束是$x^{*}$处的不起作用约束。按照惯例，总是把等式约束$h_{i}(x)$当作起作用的约束

**定义 2：**设$x^{*}$满足$h(x^{*})=0,g(x^{*})\le 0$，设$J(x^{*})$为起作用不等式约束的下标集：

$$J(x^{*})\triangleq \{j:g_{j}(x^{*})=0\}$$

如果向量

$$\nabla h_{i}(x^{*}),\nabla g_{j}(x^{*}),1\le i\le m,j\in J(x^{*})$$

是线性无关的，那么称$x^{*}$是一个正则点

下面介绍某个点是局部极小点所满足的一阶必要条件，即 KKT 条件。 **KKT 条件：**设$f,h,g\in C^{1}$，设$x^{*}$是问题$h(x)=0,g(x)\le 0$的一个正则点和局部极小点，那么必然存在$\lambda^{*}\in R^{m}$和$\mu^{*}\in R^{p}$，使得以下条件成立：

$$\mu^{*}\ge0\\ Df(x^{*})+\lambda^{*T}Dh(x^{*})+\mu^{*T}Dg(x^{*})=0^{T}\\ \mu^{*T}g(x^{*})=0\\ h(x^{*})=0\\ g(x^{*})\le0$$

那么在求解不等式约束的最优化问题的时候，可以搜索满足 KKT 条件的点，并将这些点作为极小点的候选对象。##二阶充分必要条件 除了一阶的 KKT 条件之外，求解这类问题还有二阶的充分必要条件。

**二阶必要条件：**在上述的问题中若$x^{*}$是极小点且$f,h,g\in C^{2}$。假设$x^{*}$是正则点，那么存在$\lambda^{*}\in R^{m}$和$\mu^{*}\in R^{p}$使得

1. $\mu^{*}\ge 0,Df(x^{*})+\lambda^{*T}Dh(x^{*})+\mu^{*T}Dg(x^{*})=0^{T},\mu^{*T}g(x^{*})=0$
2. 对于所有$y\in T(x^{*})$，都有$y^{T}L(x^{*},\lambda^{*},\mu^{*})y\ge0$成立

**二阶充分条件：**假定$f,h,g\in C^{2}$，$x^{*}\in R^{n}$是一个可行点，存在向量$\lambda^{*}\in R^{m}$和$\mu^{*}\in R^{p}$使得

1. $\mu^{*}\ge 0,Df(x^{*})+\lambda^{*T}Dh(x^{*})+\mu^{*T}Dg(x^{*})=0^{T},\mu^{*T}g(x^{*})=0$
2. 对于所有$y\in \widetilde{T}(x^{*},\mu^{*}),y\neq0$，都有$y^{T}L(x^{*},\lambda^{*},\mu^{*})y>0$成立

那么$x^{*}$是优化问题$h(x)=0,g(x)\le 0$的严格局部极小点